Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线AD₁与平面BB₁D₁D所成角的余弦值是

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：计算题,空间角

分析：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，证明HA⊥平面BD₁，则根据线面角的定义∠AD₁H就是直线AD₁平面BD₁所成角，解直角三角形AD₁H即可．

解答： 解：取BD的中点H连接AH，∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴BB₁⊥平面AC，
∴AH⊥BB₁，
又∴AH⊥BD且BD∩BB₁=B，
∴AH⊥面BD₁，
∴AH⊥D₁H，
∴∠AD₁H就是直线AD₁与平面BD₁所成角，
在直角三角形AHD₁中设AB=1则AH=

2

2

，AD₁=

2

∴sin∠AD₁H=

AH

AD1

=

1

2

∴cos∠AD₁H=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题．