Question

如图，在梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD，AD=CD=

1

2

AB=a，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AE=a，点M在线段EF上．
（1）求证：AM⊥BC；
（2）若

EM

=

1

3

EF

，求二面角B-AM-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明AE⊥平面ABCD、BC⊥平面ACFE，即可证明AM⊥BC；
（2）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过点D平行与EA的直线为z轴，求出平面DAM的法向量、平面ABM的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B-AM-D的余弦值．

解答： （1）证明：在梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD，AD=CD=

1

2

AB=a，
得AC=BC=

2

a，BC⊥AC，
又四边形ACFE是矩形，则EA⊥AC，
∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴AE⊥平面ABCD，
∵平面BC?平面ABCD，
∴AE⊥BC，
∴BC⊥平面ACFE，
∴AM⊥BC；
（2）解：以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过点D平行与EA的直线为z轴，则
D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，2a，0），M（

2

3

a，

1

3

a，a），
设平面DAM的法向量为

m

=（x，y，z），则
∵

AD

=（-a，0，0），

DM

=（

2

3

a，

1

3

a，a），
∴

-ax=0 2 3 ax+ 1 3 ay+az=0

，∴

m

=（0，-3，1）；
同理可得平面ABM的法向量为

n

=（3，0，1），
则二面角B-AM-D的余弦值为-

1

10 • 10

=-

1

10

．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查向量知识的运用，正确运用线面垂直的判定与性质是关键．