Question

16．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点为F，圆C₂：x²+y²=4，若C₁与C₂交于A，B两点，且|AB|=2$\sqrt{3}$，则抛物线C₁上的点P（m，3$\sqrt{3}$）到F的距离为（　　）

• A． $\frac{21}{2}$
• B． 21
• C． $\frac{39}{2}$
• D． $\frac{39}{4}$

Answer 1

分析 由抛物线和圆关于x轴对称，可设A（a，b）（a，b＞0），B（a，-b），运用两点的距离公式，可得b，再由圆的方程可得a，代入抛物线的方程，可得p，求得m，再由抛物线的定义，即可得到所求距离．

解答 解：由抛物线和圆关于x轴对称，
可设A（a，b）（a，b＞0），B（a，-b），
由|AB|=2$\sqrt{3}$，可得2b=2$\sqrt{3}$，
解得b=$\sqrt{3}$，由a²+b²=4，可得a=1，
将（1，$\sqrt{3}$）代入抛物线的方程，可得3=2p，
解得p=$\frac{3}{2}$，
即有抛物线的方程为y²=3x，
准线方程为x=-$\frac{3}{4}$，
即点P（m，3$\sqrt{3}$）为（9，3$\sqrt{3}$），
P到F的距离为P到准线的距离，即有
9+$\frac{3}{4}$=$\frac{39}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的定义和方程的运用，同时考查圆的方程的运用，注意运用对称性是解题的关键．