题目内容

6．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N*）件．当x≤20时，年销售总收入为（33x-x2）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，
（1）y（万元）与x（件）的函数关系式为？
（2）该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大，并求出最大值．（年利润=年销售总收入-年总投资）

分析 （1）根据已知，分当x≤20时和当x＞20时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；
（2）根据（1）中函数的解析式，分类求出各段上的最大值点和最大值，综合可得答案．

解答 解：（1）由题意 得：当x≤20时，y=（33x-x2）-x-100=-x2+32x-100；…（4分）
当x＞20时，y=260-100-x=160-x．…（6分）
故y=$\left\{\begin{array}{l}-x2+32x-100，0＜x≤20\\ 160-x，x＞20.\end{array}$（x∈N*）．…（8分）
（2）当0＜x≤20时，y=-x2+32x-100=-（x-16）2+156，…（10分）
当x=16时，ymax=156．
而当x＞20时，160-x＜140，
故x=16时取得最大年利润156万元． …（12分）

点评 本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，分段函数的应用，难度中档．

练习册系列答案
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14．命题p：?a∈R，直线ax+y-2a-1=0与圆x2+y2=6相交．则?p及?p的真假为（　　）
A．￢p：?a∈R，直线ax+y-2a-1=0与圆x2+y2=6不相交，￢p为真
B．￢p：?a∈R，直线ax+y-2a-1=0与圆x2+y2=6不相交，￢p为假
C．￢p：?a∈R，直线ax+y-2a-1=0与圆x2+y2=6不相交，￢p为真
D．￢p：?a∈R，直线ax+y-2a-1=0与圆x2+y2=6不相交，￢p为假
1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，过F1作斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点，△ABF2的周长为8．椭圆上一点P与A1，A2连线的斜率之积${k_{P{A_1}}}•{k_{P{A_2}}}=-\frac{1}{4}$（点P不是左右顶点A1，A2）．
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18．设函数f（x）=mx2+2mx+1．
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15．设函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0），在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上既无最大值，也无最小值，且-f（$\frac{π}{2}$）=f（0）=f（$\frac{π}{6}$），则下列结论成立的是①②④．（把你认为正确结论的序号都写上）
①若f（x1）≤f（x2）对任意实数x恒成立，则x2-x1必定是$\frac{π}{2}$的整数倍；
②y=f（x）的图象关于（$\frac{4π}{3}$，0）对称；
③对于函数y=|f（x）|（x∈R）的图象，x=-$\frac{5π}{12}$一定是一条对称轴且相邻两条对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$；
④函数f（x）在每一个[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）上具有严格的单调性．
16．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，圆C2：x2+y2=4，若C1与C2交于A，B两点，且|AB|=2$\sqrt{3}$，则抛物线C1上的点P（m，3$\sqrt{3}$）到F的距离为（　　）
A．$\frac{21}{2}$B．21C．$\frac{39}{2}$D．$\frac{39}{4}$

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