Question

设集合A={x|（2+x）（3-x）≥0}，B={x|f(x)=

kx2+4x+k+3

，k＜0}
（1）求集合A；
（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，试求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：集合,简易逻辑

分析：（1）利用一元二次不等式的解法即可得出；
（2）记g（x）=kx²+4x+k+3，由g（x）≥0在R上有解，而k＜0，由△≥0，得-4≤k＜0，对k分类讨论，及其充要条件的判定即可得出．

解答： 解：（1）由（2+x）（3-x）≥0，化为（x+2）（x-3）≤0，解得-2≤x≤3．
∴A=[-2，3]．
（2）记g（x）=kx²+4x+k+3，由g（x）≥0在R上有解，而k＜0，
故△=16-4k（k+3）≥0，得-4≤k＜0，①
当k=-4时，B={

1

2

}，满足条件．
设g（x）=0的两个根x₁，x₂（x₁＜x₂），则B=（x₁，x₂），
由x∈A是x∈B的必要不充分条件得：

g(-2)≤0 g(3)≤0

，即

5k-5≤0 10k+15≤0

②
由①②得-4≤k≤-

3

2

．

点评：本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、分类讨论、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．