Question

4．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，顶点与焦点的距离等于4．
（1）求抛物线的方程
（2）若等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长．

Answer 1

分析 （1）设抛物线方程为y²=±2px（p＞0），由题意可得$\frac{p}{2}=4，p=8$，可得抛物线的方程；
（2）不妨以抛物线y²=16x进行计算．
 根据抛物线的对称性可得∠AOx=30°，可设直线OA的方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{{y}^{2}=16x}\end{array}\right.$得A（48，16$\sqrt{3}$），B（48，-16$\sqrt{3}$）．
即等边三角形AOB的边长为AB=32$\sqrt{3}$

解答 解：（1）设抛物线方程为y²=±2px（p＞0），由题意可得$\frac{p}{2}=4，p=8$
∴抛物线的方程为y²=±16x；
（2）不妨以抛物线y²=16x进行计算．
∵等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，∴根据抛物线的对称性可得（如图）
∠AOx=30°，可设直线OA的方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{{y}^{2}=16x}\end{array}\right.$得A（48，16$\sqrt{3}$）
根据对称性得B（48，-16$\sqrt{3}$）．
∴AB=32$\sqrt{3}$，∴等边三角形AOB的边长为32$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线的方程、性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．