Question

13．已知f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-1时，求曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当0≤a≤$\frac{1}{2}$时，试讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=-1代入函数解析式，求出导函数，得到f'（2），再求出f（2），利用直线方程的点斜式可得曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x}-a+\frac{a-1}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x+a-1}}{x^2}$（x＞0），令g（x）=-ax²+x+a-1，分a=0，$a=\frac{1}{2}$和$0＜a＜\frac{1}{2}$三类可得函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1时，$f（x）=lnx+x+\frac{2}{x}-1，\;\;f'（x）=\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^2}$，则f'（2）=1，
又f（2）=ln2+2，
∴曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程为：y-（ln2+2）=x-2，即x-y+ln2=0；
（Ⅱ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-a+\frac{a-1}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x+a-1}}{x^2}$（x＞0），
令g（x）=-ax²+x+a-1，
①当a=0时，g（x）=x-1，
当x≥1时，g（x）≥0，即f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上单调递增；
当0＜x＜1时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减．
②当a≠0时，由f'（x）=0，得g（x）=-ax²+x+a-1=0，解得x=1或$x=\frac{1}{a}-1$．
（i）当$a=\frac{1}{2}$时，$g（x）=-\frac{1}{2}{（x-1）^2}≤0$，即f'（x）≤0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递减．
（ii）当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{a}-1＞1$，列表如下，

x	（0，1）	1	$（{1，\;\;\frac{1}{a}-1}）$	$\frac{1}{a}-1$	$（{\frac{1}{a}-1，\;\;+∞}）$
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小	单调递增	极大	单调递减

由上表知，f（x）在$（0，\;\;1），\;\;（{\frac{1}{a}-1，\;\;+∞}）$上单调递减，在$（{1，\;\;\frac{1}{a}-1}）$上单调递增．
综上所述：当a=0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增；
当$a=\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，f（x）在$（0，\;\;1），\;\;（{\frac{1}{a}-1，\;\;+∞}）$上单调递减，在$（{1，\;\;\frac{1}{a}-1}）$上单调递增．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．