Question

如图所示,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的右侧),且|MN|=3,已知椭圆D:+=1(a>b>0)的焦距等于2|ON|,且过点（,）.

(1)求圆C和椭圆D的方程;
(2)若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点,求证:直线NA与直线NB的倾斜角互补.

Answer 1

（1）（x-）²+(y-2)²= +=1  （2）见解析

(1)解:设圆的半径为r,由题意,圆心为(r,2),
因为|MN|=3,
所以r²=（）²+2²=,r=,
故圆C的方程是（x-）²+(y-2)²=           ①
在①中,令y=0解得x=1或x=4,
所以N(1,0),M(4,0).
由得c=1,a=2,
故b²=3.
所以椭圆D的方程为+=1.
(2)证明:设直线l的方程为y=k(x-4).
由
得(3+4k²)x²-32k²x+64k²-12=0                    ②
设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
则x₁+x₂=,x₁x₂=.
当x₁≠1,x₂≠1时,
k_AN+k_BN=+
=+
=k·
=·[2x₁x₂-5(x₁+x₂)+8]
=·
=0.
所以k_AN=-k_BN,
当x₁=1或x₂=1时,k=±,
此时,对方程②,Δ=0,不合题意.
所以直线AN与直线BN的倾斜角互补.