Question

函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，其最高 点为M，最低点为N，与x轴正半轴交点为P．在△MNP中，∠MNP=30°，MP=2．
（1）判断△MNP的形状，并说明理由；
（2）求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据函数图象的对称性，MN=2OM=2MP，由正弦定理可以解得 sin∠MPN=1 故有∠MPN=90°．
（2）由（1）知，∠NMP=60°，MO=MP，∴△OMN为等边三角形，求得 M、P的坐标，从而求得f（x）解析式．

解答：解：（1）根据函数图象的对称性，MN=2OM=2MP，∵MP=2，∴MN=4，
△MNP 中，

MP

sin∠MNP

=

MN

sinMPN

，
 解得 sin∠MPN=1，∴∠MPN=90°，故△MNP 为直角三角形．
（2）由（1）知，∠NMP=60°，MO=MP，∴△OMN为等边三角形，∴M（1，

3

），P（2，0），
∴A=

3

，T=

2π

ω

=2×OP=4，∴ω=

π

2

，∴f（x）=

3

sin （

π

2

x）．

点评：本题考查函数图象的对称性，以及三角形中的边角关系的应用，属于中档题．