Question

函数f（x）=Asin（ωx-

π

6

）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，
（1）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；
（2）设a∈（0，

π

2

），则f（

a

2

）=2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，从而得到函数的解析式为f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1．令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调减区间．
（2）由 f（

α

2

）=2求得sin（α-

π

6

）=

1

2

，再由 α-

π

6

的范围求得 α-

π

6

的值，可得a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值是3，∴A+1=3，即A=2．-----（1分）
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，∴最小正周期T=π，∴ω=2．------（3分）
所以f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1．------（4分）
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，即　

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，k∈Z，
∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调减区间为 [

π

3

，

5π

6

]．-----（8分）
（Ⅱ）∵f（

α

2

）=2sin（α-

π

6

）+1=2，即 sin（α-

π

6

）=

1

2

，------（9分）
∵0＜α＜

π

2

，∴-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，∴α-

π

6

=

π

6

，∴α=

π

3

．------（12分）

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，属于中档题．