Question

9．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的最小周期为π，且f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求函数y=f（x）解析式，并写出周期、振幅；
（2）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（3）通过列表描点的方法，在给定坐标中作出函数f（x）在[0，π]上的图象．

Answer 1

分析 （1）根据函数的最小周期求出ω，f（$\frac{π}{4}$）求出φ的值，写出f（x）的解析式、周期和振幅；
（2）根据余弦函数的图象与性质，即可得出y=f（x）的单调递减区间；
（3）利用列表描点法，作出函数f（x）在[0，π]上的图象即可．

解答 解：（1）函数f（x）=cos（ωx+φ）的最小周期为π，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2；
又f（$\frac{π}{4}$）=cos（2×$\frac{π}{4}$+φ）=-sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinφ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
又-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴函数y=f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），且周期是kπ，k∈Z，振幅为1；
（2）∵函数y=f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，
解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴函数y=f（x）的单调递减区间是
[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（3）∵0≤x≤π，∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{3}$；
则列表如下：

2x-$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{3}$
x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	π
y	$\frac{1}{2}$	1	0	-1	0	$\frac{1}{2}$

通过列表描点，作出函数f（x）在[0，π]上的图象如图所示：

点评 本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了五点作图法的应用问题，是综合性题目．