Question

6．如图（1）所示，在直角梯形ABCD中，$AD∥BC，∠BAD=\frac{π}{2}，AB=BC=\frac{1}{2}AD$，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，如图（2）所示．

（1）证明：CD⊥平面A₁OC；
（2）若平面A₁BE⊥平面BCDE，求平面A₁BC与平面A₁CD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）BE⊥平面A₁OC，又BE∥CD，即可证明：CD⊥平面A₁OC；
（2）若平面A₁BE⊥平面BCDE，以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求平面A₁BC与平面A₁CD所成锐二面角的余弦值．

解答 （1）证明：在图（1）中，因为$AB=BC=\frac{1}{2}AD$，E是AD的中点，且$∠BAD=\frac{π}{2}$，
所以BE⊥AC，BE∥CD，
即在图（2）中，BE⊥OA₁，BE⊥OC，又OA₁∩OC=O，OA₁?平面A₁OC，OC?平面A₁OC，
从而BE⊥平面A₁OC，又BE∥CD，所以CD⊥平面A₁OC．
（2）解：由已知，平面A₁BE⊥平面BCDE，且交线为BE，
又由（1）知，BE⊥OA₁，所以OA₁⊥平面BCDE，
如图，以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设$AB=BC=\frac{1}{2}AD=1$，所以$B（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，0），E（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，0），{A_1}（0，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），C（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$，
得$\overrightarrow{BC}=（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0），\overrightarrow{{A_1}C}=（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}），\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BE}=（-\sqrt{2}，0，0）$．
设平面A₁BC的法向量$\overrightarrow n=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，平面A₁CD的法向量$\overrightarrow m=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
平面A₁BC与平面A₁CD的夹角为θ，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{{A_1}C}=0}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{-{x_1}+{y_1}=0}\\{{y_1}-{z_1}=0}\end{array}}\right.$，取$\overrightarrow n=（1，1，1）$，同理，取$\overrightarrow m=（0，1，1）$，
从而$cosθ=|{cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞}|=\frac{2}{{\sqrt{2}×\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即平面A₁BC与平面A₁CD所成锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查平面A₁BC与平面A₁CD所成锐二面角的余弦值，考查学生向量知识的运用，属于中档题．