Question

给出下列四个命题：其中所有正确命题的序号为（　　）
①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；
②已知锐角A，B满足tan（A+B）=2tanA，则tanB的最大值是

2

4

；
③将y=lnx的图象绕坐标原点O逆时针旋转角θ后第一次与y轴相切，则esinθ=cosθ；
④若函数y=f(x-

3

2

)为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点F(

3

2

，0)成中心对称．

• A、①②③
• B、②④
• C、①③④
• D、①②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：①△ABC中，由正弦定理可得：sinA＞sinB?a＞b?A＞B，即可判断出；
②已知锐角A，B满足tan（A+B）=2tanA，利用两角和的正切公式展开可得tanB=

tanA

1+2tan2A

，再利用基本不等式的性质即可得出；
③设直线y=kx与曲线y=lnx相切于点P（x₀，lnx₀），利用导数的几何意义可得x₀=e，可得切线方程为y=

1

e

x．此切线绕原点逆时针旋转θ后变为y轴，
于是tan(

π

2

-θ)=

1

e

=

cosθ

sinθ

，即可判断出；
④若函数y=f(x-

3

2

)为R上的奇函数，则f(-x-

3

2

)=-f(x-

3

2

)，即可判断出．

解答： 解：①△ABC中，由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

，sinA＞sinB?a＞b?A＞B，因此正确；
②已知锐角A，B满足tan（A+B）=2tanA，∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=2tanA，化为tanB=

tanA

1+2tan2A

≤

tanA

2 2 tanA

=

2

4

，当且仅当tanA=

2

2

时取等号，∴tanB的最大值是

2

4

，正确；
③设直线y=kx与曲线y=lnx相切于点P（x₀，lnx₀），∵y′=

1

x

，∴k=

1

x0

=

lnx0

x0

，解得x₀=e，可得切线方程为y=

1

e

x．此切线绕原点逆时针旋转θ后变为y轴，
∴tan(

π

2

-θ)=

1

e

=

cosθ

sinθ

，化为ecosθ=sinθ，因此esinθ=cosθ不正确；
④若函数y=f(x-

3

2

)为R上的奇函数，则f(-x-

3

2

)=-f(x-

3

2

)，因此函数y=f（x）的图象一定关于点F(

3

2

，0)成中心对称，正确．
综上可得：只有①②④正确．
故选：D．

点评：本题考查了正弦定理的应用、两角和差的正切公式、基本不等式的性质、利用导数研究切线方程、奇函数的中心对称性，考查了简易逻辑的有关判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．