Question

16．若直线l过点（-3，1）且被圆x²+y²=25截得的弦长为8，则直线l的方程是（　　）

• A． x=-3或4x+3y-15=0
• B． 4x-3y+15=0
• C． 4x+3y-15=0
• D． x=-3或4x-3y+15=0

Answer 1

分析 算出圆心为O（0，0）、半径r=5，根据垂径定理算出直线到圆心的距离等于3．当直线斜率存在时设直线方程为y-1=k（x+3），由点到直线的距离公式建立关于k的等式，解出k=$\frac{4}{3}$，可得此时直线的方程；当直线斜率不存在时，直线方程为x+3=0，到圆心的距离也等于3，符合题意．由此即可得出所求的直线方程．

解答 解：圆x²+y²=5的圆心为O（0，0），半径r=5．设圆心到直线的距离为d，
①当过点M（-3，1）的直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k（x+3），即kx-y+3k+1=0，
∵直线圆x²+y²=25截得弦长为8，
∴根据垂径定理，得圆心到直线的距离d=3．
根据点到直线的距离公式，得$\frac{|3k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，解之得k=$\frac{4}{3}$，
此时直线的方程为4x-3y+15=0；
②当过点M（-3，1）的直线斜率不存在时，
直线方程为x=-3．
由圆心到直线的距离d=3，可得直线被圆截得的弦长也等于8，符合题意．
综上所述，可得所求的直线方程为4x-3y+15=0或x=-3．
故选D．

点评 本题给出经过定点的直线被圆O截得的弦长，求直线的方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．