Question

在平面直角坐标系内，直线l的方程为ax+by+c=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为不同的两点，且点B不在直线l上，实数λ满足ax₁+by₁+c+λ（ax₂+by₂+c）=0．给出下列四个命题：
①不存在λ，使点A在直线l上；
②存在λ，使曲线（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0关于直线l对称；
③若λ=-1，则过A，B两点的直线与直线l平行；
④若λ＞0，则点A，B在直线l的异侧．
其中，所有真命题的序号是（　　）

• A、①②④
• B、③④
• C、①②③
• D、②③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,直线的一般式方程,过两条直线交点的直线系方程

专题：直线与圆,简易逻辑

分析：①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到ax₁+by₁+c=0，进而可判断①不正确．
②若λ=1，则ax₁+by₁+c+ax₂+by₂+c=0，推出直线经过的点，判断曲线是圆的方程，然后推出结果．判断②的正误；
③若λ=-1，则ax₁+by₁+c-（ax₂+by₂+c）=0，从而得到

y2-y1

x2-x1

与AB的斜率关系，即判断③的正误；
④若λ＞0，利用ax₂+by₂+c≠0，判断ax₁+by₂+c与ax₂+by₂+c的符号，根据点与直线的位置关系从而可判定④正误．

解答： 解：对于①，若点A在直线l上则ax₁+by₁+c=0，
∴存在实数λ=0，使点A在直线l上，
故①不正确；
对于②，若λ=1，则ax₁+by₁+c+ax₂+by₂+c=0，即a（

x1+x2

2

）+b（

y1+y2

2

）+c=0，
∴直线l经过线段AB的中点，
曲线（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0是以AB为直径的圆的方程．
存在λ，使曲线（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0关于直线l对称．
故②正确；
对于③，若λ=-1，则ax₁+by₁+c-ax₂-by₂-c=0
即a（x₁-x₂）+b（y₁-y₂）=0，∴

y2-y1

x2-x1

=-

a

b

直线l的方程为ax+by+c=0的斜率为：-

a

b

，
λ=-1，则过A，B两点的直线与直线l平行；
即③正确；
对于④，若λ＞0，ax₁+by₁+c+λ（ax₂+by₂+c）=0，
点B不在直线l上，∴ax₂+by₂+c≠0，
则ax₁+by₁+c＞0或ax₂+by₂+c＜0，
或者ax₁+by₂+c＜0，ax₂+by₂+c＞0，
即点M、N在直线l的异侧，故④正确．
正确命题：②③④．
故选：D．

点评：本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，属于难题．