Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x-2），且f（x）在[-5，-4]上是减函数，又α、β是锐角三角形的两个内角，则（　　）

• A、f（cosα）＜f（cosβ）
• B、f（sinβ）＞f（cosα）
• C、f（sinα）＜f（cosβ）
• D、f（sinα）＜f（sinβ）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x+2）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），得函数的周期为4，然后利用函数的周期和奇偶性进行判断．

解答： 解：由f（x+2）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），所以函数的周期为4，
因为f（x）在[-5，-4]上为减函数，所以f（x）在[-1，0]上为减函数，
因为f（x）为偶函数，所以f（x）在[0，1]上为单调增函数．
因为在锐角三角形中，π-α-β＜

π

2

，所以α+β＞

π

2

，所以

π

2

＞α＞

π

2

-β＞0，
所以sinα＞sin(

π

2

-β)=cosβ，
cosα＜cos（

π

2

-β）=sinβ，
因为f（x）在[0，1]上为单调增函数．
所以f（sinα）＞f（cosβ），f（cosα）＜f（sinβ），
故选：B．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．