Question

已知函数f（x）=2lnx-x²+2x
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程；
（Ⅱ）若函数g（x）=

1

3

x³+x²[f′（x）+2x-

4

x

+m]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）若在区间（1，+∞）上，函数h（x）=

1

2

f（x）+ax²-x的图象恒在直线y=2ax（x∈R）的下方，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决
（Ⅱ）求出g′（x），因为g（x）在区间（1，3）上不单调，所以g′（x）改变符号，从而得到m所满足的条件．
（Ⅲ）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围．

解答： 解：（I）∵f′(x)=

2

x

-2x+2，切点坐标（1，1），
∴切线的斜率k=f'（1）=2，
∴则切线方程为y-1=2（x-1），
即y=2x-1，
（II）∵g(x)=

1

3

x3+x2[f′(x)+2x-

4

x

+m]=

1

3

x3+(m+2)x2-2x
∴g'（x）=x²+2（m+2）x-2
∵g（x）在区间（1，3）上不是单调函数，且g'（0）=-2＜0
∴

g′(1)＜0 g′(3)＞0

∴

m＜- 3 2 m＞- 19 6

故m的取值范围是（-

19

6

，-

3

2

）
（III）若在区间（1，+∞）上，函数h(x)=

1

2

f(x)+ax2-x的图象恒在直线y=2ax（x∈R）的下方等价于对任意x∈（1，+∞），不等式(a-

1

2

)x2+lnx-2ax＜0恒成立
设ϕ（x）=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax，x∈（1，+∞）
则ϕ'（x）=(2a-1)x-2a+

1

x

=(x-1)(2a-1-

1

x

)
当x∈（1，+∞）时，x-1＞0，0＜

1

x

＜1
①若2a-1≤0，即a≤

1

2

，ϕ'（x）＜0，函数ϕ（x）在区间[1，+∞）为减函数，
则当任意x∈（1，+∞）时，ϕ（x）＜ϕ（1）=a-

1

2

-2a=-

1

2

-a，
只需-

1

2

-a≤0，即当-

1

2

≤a≤

1

2

时，ϕ（x）=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax＜0恒成立．
②若0＜2a-1＜1，即

1

2

＜a＜1时，令ϕ'（x）=(x-1)(2a-1-

1

x

)=0
得x=

1

2a-1

＞1，函数ϕ（x）在区间（1，

1

2a-1

）为减函数，（

1

2a-1

，+∞）为增函数，
则ϕ（x）∈（ϕ（

1

2a-1

），+∞），不合题意，
③若2a-1≥1，即当a≥1时，ϕ'（x）＞0，函数ϕ（x）在区间（1，+∞）为增函数
则ϕ（x）∈（ϕ（1），+∞），不合题意，
综上可知当-

1

2

≤a≤

1

2

时，ϕ（x）=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax＜0恒成立
即当-

1

2

≤a≤

1

2

时，在区间（1，+∞）上，函数h(x)=

1

2

f(x)+ax2-x的图象恒在直线y=2ax（x∈R）的下方，
综上所述．实数a的取值范围为[-

1

2

，

1

2

]

点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，利用导数解决问题的能力，解决不等式恒成立及不等式有解问题一般都转化为函数的最值问题，通过导数求函数的最值，进一步求出参数的范围．