题目内容

9．Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+an=2Sn．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$，求数列{bn}的前n项和Tn．

分析 （I）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．
（II）bn=$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$=$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵an2+an=2Sn，∴${a}_{n+1}^{2}+{a}_{n+1}$=2Sn+1，
两式子相减得：（an+1+an）（an+1-an）=an+1+an，
∵an＞0，∴an+1-an=1，
令n=1得${a}_{1}^{2}+{a}_{1}$=2S1=2a1，解得a1=1
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=1+（n-1）=n．
（Ⅱ）∵bn=$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$=$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，
∴Tn=$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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②若f（x）在区间[1，3]上具有性质P，则f（x）不可能为一次函数；
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