Question

已知函数f（x）=a（2cos²

x

2

+sinx）+b．
（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当a＞0，且x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）当a=1时，利用三角恒等变换（辅助角公式）可得f（x）=

2

sin（x+

π

4

）+b+1，再利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间；
（2）x∈[0，π]⇒x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，利用正弦函数的单调性质即可求得f（x）∈[b，（

2

+1）a+b]，又f（x）的值域是[3，4]，从而可求得a与b的值．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=2cos²

x

2

+sinx+b=1+cosx+sinx+b=

2

sin（x+

π

4

）+b+1．
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]（k∈Z）；
（2）因为，f（x）=a（2cos²

x

2

+sinx）+b=a（1+cosx+sinx）+b=

2

asin（x+

π

4

）+b+a，
x∈[0，π]⇒x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]⇒sin（x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]⇒

2

asin（x+

π

4

）∈[-a，

2

a]，
所以，f（x）∈[b，（

2

+1）a+b]，又f（x）的值域是[3，4]，
所以b=3，a=

4-3

2 +1

=

2

-1．

点评：本题考查三角恒等变换，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查转化思想．