Question

12．已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n
（1）求a_n及S_n
（2）求数列$\{\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d：∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴a₁+2d=7，2a₁+10d=26，
联立解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}\}$的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{n}{6n+9}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．