Question

5．如图，矩形ACFE⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，AB=2AD=2CD=2CF．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）当点M在线段EF上运动时，求平面MAB与平面FCB所成锐二面角余弦的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直得CF⊥BC，由余弦定理得AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACFE．
（2）建立分别以直线CA、CB、CF为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MAB与平面FCB所成锐二面角余弦的取值范围．

解答 证明：（1）平面ACFE⊥平面ABCD且平面ACFE∩平面ABCD=AC，
又∵矩形ACFE中，CF⊥AC∴CF⊥平面ABCD，
∴CF⊥BC，
∵底面ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，AB=2AD=2CD=2CF，设AB=2，∠ABC=θ，
∴AC²=AD²+CD²+2•AD•CD•cosθ=AB²+BC²-2•AB•BC•cosθ，
∴1+1+2cosθ=4+1-4cosθ，解得cosθ=$\frac{1}{2}$，∴θ=60°．
∴AC=$\sqrt{1+1+2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又AC∩FC=C，∴BC⊥平面ACFE．
解：（2）由（1）可建立分别以直线CA、CB、CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，
令EM=λ（0$≤λ≤\sqrt{3}$），则C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BM}$=（λ，-1，1）．
设$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BM}=λx-y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，则$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，\sqrt{3}，\sqrt{3}-λ）$，
∵$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+3+（\sqrt{3}-λ）^{2}}×1}$=$\frac{1}{\sqrt{（λ-\sqrt{3}）^{2}}+4}$，
∵0$≤λ≤\sqrt{3}$，∴当λ=0时，cosθ有最小值$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
当$λ=\sqrt{3}$时，cosθ有最大值$\frac{1}{2}$，∴cosθ∈[$\frac{\sqrt{7}}{7}$，$\frac{1}{2}$]．
∴平面MAB与平面FCB所成锐二面角余弦的取值范围是[$\frac{\sqrt{7}}{7}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查面面角的余弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．