Question

已知正四棱柱中，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

证明：(Ⅰ)因为为正四棱柱，

所以平面，且为正方形.                 ………1分

因为平面，

       所以.                                 ………2分

       因为,

       所以平面.                                    ………3分

因为平面,

所以.                                         ………4分

(Ⅱ) 如图，以为原点建立空间直角坐标系.则

             ………5分

           所以.                       

           设平面的法向量.

           所以 .即……6分

           令，则.

           所以.

           由（Ⅰ）可知平面的法向量为    .                                               ……7分

           所以.                          ……8分

           因为二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为.                   ………9分

(Ⅲ)设为线段上一点,且.

          因为.

所以.               ………10分

即.

所以.                                  ………11分

设平面的法向量.

因为，

           

           所以 .即.                   ………12分

           令，则.

           所以.                                   ………13分

若平面平面，则.

即，解得.

所以当时，平面平面.              ………14分