Question

【题目】已知函数在点处的切线斜率为0.函数

（1）试用含的代数式表示；

（2）求的单调区间；

（3）令，设函数在处取得极值，记点，，证明：线段与曲线存在异于，的公共点.

Answer 1

【答案】（1）.（2）答案见解析.（3）证明见解析

【解析】

（1）求导后利用，即可得解；

（2）求导后分，和三种情况讨论求出单调区间即可；

（3）由的极值得到，两点的坐标，进一步得到直线的方程，联立方程求解即可得解.

（1）由，得，

∵在点处的切线斜率为0，

∴，∴；

（2）由（1）得，则

，

令，则或，

①当时，，

当时，，此时单调递减；

当时，，

此时在和上单调递增；

②当时，，此时恒成立，且仅有时，

∴在上单调递增；

③当时，，

同理可得的增区间为和，单调减区间为；

综上，当时，的单调减区间为，单调增区间为和；当时，的单调增区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为和；

（3）当时，，

令，则或，

由（2）得的单调增区间为和，单调减区间为，

∴函数在和3处取得极值，

∴，，所以.

∴直线的方程为，

由得，

令，

易得，，

而的图象在(0，2)内是一条连续不断的曲线，

故在(0，2)内存在零点，即线段与曲线有异于，的公共点.