Question

设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（3）=0，则不等式f（x）•g（x）＜0的解集是

 

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Answer 1

考点：导数的运算,函数单调性的性质

专题：导数的概念及应用

分析：构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．

解答： 解：令h（x）=f（x）g（x），则h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．
∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，
∴h（x）在x＜0时单调递增，
故函数h（x）在R上单调递增．
∵g（3）=0，
∴g（-3）=g（3）=0，
∵h（-3）=f（-3）g（-3）=0，
∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（-3），
∴x＜-3．
当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（3）=-h（-3）=0，
∴h（x）＜0的解集为（0，3）．
∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．
故答案为（-∞，-3）∪（0，3）．

点评：本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系，关键时构造函数，属于中档题．