Question

【题目】已知函数.

（1）若是的极值点，求的极大值；

（2）求实数的范围，使得恒成立.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求t，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；

（2）由已知代入可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0时恒成立，构造函数g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，结合导数及函数的性质可求.

（1），x＞0，

由题意可得，0，解可得t＝﹣4，

∴，

易得，当x＞2，0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，

故当x＝1时，函数取得极大值f（1）＝﹣3；

（2）由f（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx+2≥2在x＞0时恒成立可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0时恒成立，

令g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，则，

（i）当t≥0时，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

所以g（x）min＝g（1）＝t﹣1≥0，解可得t≥1，

（ii）当﹣2＜t＜0时，g（x）在（）上单调递减，在（0，），（1，+∞）上单调递增，

此时g（1）＝t﹣1＜﹣1不合题意，舍去；

（iii）当t＝﹣2时，g′（x）0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，此时g（1）＝﹣3不合题意；

（iv）当t＜﹣2时，g（x）在（1，）上单调递减，在（0，1），（）上单调递增，此时g（1）＝t﹣1＜﹣3不合题意，

综上，t≥1时，f（x）≥2恒成立.