Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝C1C＝1，M，N分别是AB，A1C的中点.

（1）求证：直线MN⊥平面ACB1；

（2）求点C1到平面B1MC的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）

【解析】

（1）连接AC1，BC1，结合中位线定理可证MN∥BC1，再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证AC⊥BC1，BC1⊥B1C，即可求证直线MN⊥平面ACB1；

（2）作交于点，通过等体积法，设C1到平面B1CM的距离为h，则有，结合几何关系即可求解

（1）证明：连接AC1，BC1，则N∈AC1且N为AC1的中点；

∵M是AB的中点.

所以：MN∥BC1；

∵A1A⊥平面ABC，AC平面ABC，

∴A1A⊥AC，

在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥CC，

∴AC⊥CC1，

∵∠ACB＝90°，BC∩CC1＝C，BC平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，

∴AC⊥平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，

∴AC⊥BC1；又MN∥BC1

∴AC⊥MN，

∵CB＝C1C＝1，

∴四边形BB1C1C正方形，

∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C，

而AC∩B1C＝C，且AC平面ACB1，CB1平面ACB1，

∴MN⊥平面ACB1，

（2）作交于点，设C1到平面B1CM的距离为h，

因为MP，

所以MP，

因为CM，B1C；

B1M，所以

所以：CMB1M.

因为，所以，解得

所以点，到平面的距离为