Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=λ+（n-1）•2ⁿ，又数列{b_n}满足：a_n•b_n=n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当λ为何值时，数列{b_n}是等比数列？并求此时数列{b_n}的前n项和T_n取值范围．

Answer 1

分析 （1）由S_n=λ+（n-1）•2ⁿ，当n=1时，a₁=S₁=λ；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）由a_n•b_n=n．可得b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{λ}，n=1}\\{（\frac{1}{2}）^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，利用等比数列的定义及其求和公式即可得出．

解答 解：（1）由S_n=λ+（n-1）•2ⁿ，
当n=1时，a₁=S₁=λ；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n-1）•2ⁿ-（n-2）•2^n-1=n•2^n-1．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{λ，n=1}\\{n•{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）由a_n•b_n=n．可得b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{λ}，n=1}\\{（\frac{1}{2}）^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
若数列{b_n}为等比数列，则首项为b₁=$\frac{1}{λ}$，满足n≥2的情况，故λ=1，
则数列{b_n}的前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$．
而T_n是单调递增的，故T_n∈[1，2）．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．