Question

13．已知函数y=sin（$\frac{π}{3}$+2x）+cos（2x-$\frac{π}{6}$）．
（1）化简函数为y=Asin（ωx+φ）的形式；
（2）求函数的周期及单调增区间；
（3）若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，求函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式可得：y=sin（$\frac{π}{3}$+2x）+cos（$\frac{π}{6}$-2x）=2sin$（2x+\frac{π}{3}）$．
（2）由（1）可得：$T=\frac{2π}{2}$=π，由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解出即可得出单调区间；
（3）由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，可得$（2x+\frac{π}{3}）$∈$[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$．进而利用正弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵y=sin（$\frac{π}{3}$+2x）+cos（$\frac{π}{6}$-2x）=2sin$（2x+\frac{π}{3}）$．
（2）由（1）可得：$T=\frac{2π}{2}$=π，
由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得：kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z．
∴函数的单调增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z．
（3）∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴$（2x+\frac{π}{3}）$∈$[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$．
∴当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{12}$时，y取得最大值2；
当2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$，即x=$-\frac{π}{3}$时，y取得最小值-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．