Question

18．已知数列{b_n}满足：b${\;}_{1}=\frac{1}{2}$，b_n+1=1-$\frac{1}{{b}_{n}}$．
（1）求b₂，b₃，b₄；
（2）证明：b_n+3=b_n；
（3）设数列{b_n}的前n项和为S_n，求S₂₀₁₂的值．

Answer 1

分析 （1）通过b_n+1=1-$\frac{1}{{b}_{n}}$、b${\;}_{1}=\frac{1}{2}$，直接代入计算即可；
（2）通过b_n+1=1-$\frac{1}{{b}_{n}}$计算可知b_n+1=$\frac{{b}_{n}-1}{{b}_{n}}$，b_n+2=-$\frac{1}{{b}_{n}-1}$，b_n+3=b_n；
（3）通过（2）可知b_3n+1=b₁=$\frac{1}{2}$，b_3n+2=b₂=-1，b_3n+3=b₃=2，并项相加即得结论．

解答 （1）解：因为b_n+1=1-$\frac{1}{{b}_{n}}$，b${\;}_{1}=\frac{1}{2}$，
所以${b}_{2}=1-\frac{1}{{b}_{1}}$=-1，${b}_{3}=1-\frac{1}{{b}_{2}}=2$，${b}_{4}=1-\frac{1}{{b}_{3}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）证明：因为b_n+1=1-$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{{b}_{n}-1}{{b}_{n}}$，
所以b_n+2=1-$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=1-$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n}-1}$=-$\frac{1}{{b}_{n}-1}$，
${b}_{n+3}=1-\frac{1}{{b}_{n+2}}$=1-$\frac{1}{-\frac{1}{{b}_{n}-1}}$=b_n，
所以b_n+3=b_n；
（3）解：由（2）可知b_3n+1=b₁=$\frac{1}{2}$，b_3n+2=b₂=-1，b_3n+3=b₃=2，
所以S₂₀₁₂=（b₁+b₂+b₃）+（b₄+b₅+b₆）+…+（b₂₀₀₈+b₂₀₀₉+b₂₀₁₀）+b₂₀₁₁+b₂₀₁₂
=670×（$\frac{1}{2}$-1+2）+$\frac{1}{2}$-1
=$\frac{2009}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．