Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\sqrt{3}$，则$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$的最小值为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 根据条件进行数量积的运算得到$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|=2$，可考虑求$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$的范围，从而便有$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}-2\sqrt{3}$$≥4-2\sqrt{3}$，这样便可得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的范围，从而得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的最小值．

解答 解：根据条件：$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}$；
∴$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|=2$；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}-2\sqrt{3}≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|-2\sqrt{3}$=$4-2\sqrt{3}$=$（\sqrt{3}-1）^{2}$，当|$\overrightarrow{a}$|=$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$时取“=”；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|≥\sqrt{3}-1$；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的最小值为$\sqrt{3}-1$．
故答案为：$\sqrt{3}-1$．

点评 考查数量积的运算及其计算公式，对不等式a²+b²≥2ab的应用，注意判断等号能否取到，完全平方公式的运用．