Question

设函数f（x），g（x）的定义域分别为D₁，D₂，且D₁?D₂．若对于任意x∈D₁，都有g（x）=f（x），则称g（x）为f（x）在D₂上的一个延拓函数．给定f（x）=x²-1（0＜x≤1）．
（Ⅰ）若h（x）是f（x）在[-1，1]上的延拓函数，且h（x）为奇函数，求h（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）为f（x）在（0，+∞）上的任意一个延拓函数，且y=

g(x)

x

 是（0，+∞）上的单调函数．
（ⅰ）判断函数y=

g(x)

x

在（0，1]上的单调性，并加以证明；
（ⅱ）设s＞0，t＞0，证明：g（s+t）＞g（s）+g（t）．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）先求出h（0）=0，再求出x∈[-1，0）时的解析式，即可得出h（x）的解析式；
（Ⅱ）（ⅰ）函数y=

g(x)

x

是（0，1]上的增函数，利用导数知识可求；
（ⅱ）确定函数y=

g(x)

x

是 （0，1]上的增函数，可得s•g（s+t）＞（s+t）•g（s），同理可得：t•g（s+t）＞（s+t）g（t）．将上述两个不等式相加，并除以s+t，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）当x=0时，由h（x）为奇函数，得h（0）=0．…1分
任取x∈[-1，0），则-x∈（0，-1]，
由h（x）为奇函数，得h（x）=-h（-x）=-[（-x）²-1]=-x²+1，…3分
所以h（x）的解析式为 h（x）=

x2-1，0＜x≤1 0，x=0 -x2+1，-1≤x＜0

      …4分
（Ⅱ）（ⅰ）函数y=

g(x)

x

是（0，1]上的增函数．…5分
证明如下：
因为g（x）为 f（x）在（0，+∞）上的一个延拓函数，
所以当x∈（0，1]时，g（x）=f（x）=x²-1．
记k（x）=

g(x)

x

=

f(x)

x

=x-

1

x

，则k′（x）=1+

1

x2

＞0，
所以函数g（x）是（0，+∞）上的增函数．…8分
（ⅱ）由y=

g(x)

x

 是（0，+∞） 上的单调函数，且x∈（0，1]时，y=

g(x)

x

是增函数，从而得到函数y=

g(x)

x

是 （0，1]上的增函数．…9分
因为s＞0，t＞0，所以s+t＞s，s+t＞t，
所以

g(s+t)

s+t

＞

g(s)

s

，即s•g（s+t）＞（s+t）•g（s）．
同理可得：t•g（s+t）＞（s+t）g（t）．
将上述两个不等式相加，并除以s+t，即得g（x+t）＞g（s）+g（t）．…13分

点评：本题以新定义为切入点，主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式，属于函数知识的综合应用．