Question

15．已知直线y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x与双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，若在双曲线上存在点P，使得|PA|=|PB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题意，设|AB|=2m，求出A，P的坐标，分别代入双曲线方程可得$\frac{\frac{5}{9}{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{4}{9}{m}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{\frac{8}{9}{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{10}{9}{m}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，设|AB|=2m，A在第一象限，则A的坐标为（$\frac{\sqrt{5}}{3}$m，$\frac{2}{3}$m），
∵|PA|=|PB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，∴|OP|=$\sqrt{2}$m，OP⊥AB，
∴P的坐标为（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$m，$\frac{\sqrt{10}}{3}$m），
A，P分别代入双曲线方程可得$\frac{\frac{5}{9}{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{4}{9}{m}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{\frac{8}{9}{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{10}{9}{m}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴b=$\sqrt{2}$a，∴c=$\sqrt{3}a$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，求出A，P的坐标是关键．