Question

10．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°，$\overrightarrow{DE}$=t$\overrightarrow{DC}$（0≤t≤1），且$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=-1，则t=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BD}$，利用数量积的运算性质计算．

解答 解：${\overrightarrow{AB}}^{2}$=9，${\overrightarrow{AD}}^{2}$=4，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=3×2×cos60°=3．
∵$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$）=${\overrightarrow{AD}}^{2}$-t${\overrightarrow{AB}}^{2}$+（t-1）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=4-9t+3（t-1）=-6t+1．
∴-6t+1=-1，解得t=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．