Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB+$\sqrt{3}$acosB=$\sqrt{3}$c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知函数f（x）=λcos²（ωx+$\frac{A}{2}$）-3（λ＞0，ω＞0）的最大值为2，将y=f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的$\frac{3}{2}$倍后便得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）的最小正周期为π．当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）△ABC中，利用三角恒等变换化简条件求得tanA的值，可得A的值．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，求得g（x）的解析式，再利用g（x）的周期求得ω，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，∵$asinB+\sqrt{3}acosB=\sqrt{3}c$，
∴$sinAsinB+\sqrt{3}sinAcosB=\sqrt{3}sinC$，∵C=π-（A+B），
∴$sinAsinB+\sqrt{3}sinAcosB=\sqrt{3}sin（A+B）$=$\sqrt{3}（sinAcosB+cosAsinB）$，
∴$tanA=\sqrt{3}$，∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：$f（x）=λ{cos^2}（ωx+\frac{π}{6}）-3=λ\frac{{1+cos（2ωx+\frac{π}{3}）}}{2}-3$=$\frac{λ}{2}cos（2ωx+\frac{π}{3}）+\frac{λ}{2}-3$，
∴λ-3=2，从而λ=5，
∴$f（x）=5{cos^2}（ωx+\frac{π}{6}）-3=\frac{5}{2}cos（2ωx+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$，
从而$g（x）=\frac{5}{2}cos（\frac{4}{3}ωx+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2π}{{\frac{4}{3}ω}}=π⇒ω=\frac{3}{2}$，∴$f（x）=\frac{5}{2}cos（3x+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$．
当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，$\frac{π}{3}≤3x+\frac{π}{3}≤\frac{11}{6}π$，
∴$-1≤cos（3x+\frac{π}{3}）≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
从而$-3≤f（x）≤\frac{{5\sqrt{3}-2}}{4}$，
∴f（x）的值域为$[-3，\frac{{5\sqrt{3}-2}}{4}]$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．