Question

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bsin（C+$\frac{π}{6}$）=a+c．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若点M为BC中点，且AM=AC=2，求a的值．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理将边化角，根据sinA=sin（B+C）进行化简，即可得出解出cosB，得到B的值；
（II）分别在△ABC和△ABM中使用余弦定理，联立方程组解出a．

解答 解：（I）∵2bsin（C+$\frac{π}{6}$）=a+c，
∴b（$\sqrt{3}$sinC+cosC）=a+c，即$\sqrt{3}$bsinC+bcosC=a+c，
∴$\sqrt{3}$sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC
∴$\sqrt{3}$sinBsinC=cosBsinC+sinC，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinB=cosB+1，
两边平方得：3sin²B=cos²B+1+2cosB，
∴2cos²B+cosB-1=0，
解得cosB=$\frac{1}{2}$或-1，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（II）BM=CM=$\frac{a}{2}$，
在△ABC中，由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}$，即$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4}{2ac}=\frac{1}{2}$，∴a²+c²-4=ac，
在△ABM中，由余弦定理得：cosB=$\frac{B{M}^{2}+A{B}^{2}-A{M}^{2}}{2BM•AB}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+{c}^{2}-4}{ac}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{{a}^{2}}{4}+{c}^{2}-4=\frac{1}{2}ac$．
∴联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{c}^{2}-4=ac}\\{\frac{{a}^{2}}{4}+{c}^{2}-4=\frac{ac}{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的恒等变换，属于中档题．