题目内容

如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下两个顶点为A，B，直线l：y=-2，
点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2，若椭圆的离心率为
3
2
，且过点A（0，1）．
（1）求k1•k2的值及线段MN的最小值；
（2）随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由题意可知e=
c
a
=
3
2
，b=1，又a2-b2=c2，解出a，b得到椭圆方程，设椭圆上点P（x0，y0），代入椭圆方程，再由斜率公式，即可得到k1•k2的值，设M（x1，-2），N（x2，-2），求出x1x2=-12，再由基本不等式求出MN=|x1-x2|的最小值；
（2）设M（x1，-2），N（x2，-2），则以MN为直径的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y+2）2=0，化简整理，若圆过定点，则有x=0，x2+（y+2）2-12=0，解出即可判断．
解答： 解：（1）因为e=
c
a
=
3
2
，b=1，又a2-b2=c2，解得a=2，
所以椭圆C的标准方程为
x2
4
+y2=1．
设椭圆上点P（x0，y0），有
x02
4
+y02=1，
所以k1•k2=
y0-1
x0
•
y0+1
x0
=
y02-1
x02
=-
1
4
．
因为M，N在直线l：y=-2上，设M（x1，-2），N（x2，-2），
由方程知
x2
4
+y2=1知，A（0，1），B（0，-1），
所以KBM•kAN=
-2-(-1)
x1-0
•
-2-1
x2-0
=
3
x1x2
，
又由上面知kAN•kBM=k1•k2=-
1
4
，所以x1x2=-12，
不妨设x1＜0，则x2＞0，则
MN=|x1-x2|=x2-x1=x2+
12
x2
≥2
x2•
12
x2
=4
3
，
所以当且仅当x2=-x1=2
3
时，MN取得最小值4
3
．
（2）设M（x1，-2），N（x2，-2），
则以MN为直径的圆的方程为
（x-x1）（x-x2）+（y+2）2=0，
即x2+（y+2）2-12-（x1+x2）x=0，若圆过定点，
则有x=0，x2+（y+2）2-12=0，解得x=0，y=-2±2
3
，
所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点（0，-2±2
3
）．
点评：本题考查椭圆的方程和性质，圆的方程的求法，考查直线的斜率公式的运用，以及恒过定点问题，运算和化简能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）是定义在（-2，2）上的减函数，若f（m-1）＞f（2m-1），则实数m的取值范围为
 
．
设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则
sinA+cosA•tanC
sinB+cosB•tanC
的取值范围是（　　）
A、（0，+∞）
B、（0，
5
+1
2
）
C、（
5
-1
2
，+∞）
D、（
5
-1
2
，
5
+1
2
）
数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第15项是
 
．
关于α的方程cos2α+（1-m）sinα-2=0在[-
π
6
，
π
2
]上有解，则实数m的取值范围是
 
．
已知向量
m
=（cosα-
2
3
，-1），
n
=（sinα，1），
m
与
n
为共线向量，且α∈[-
π
2
，0]
（Ⅰ）求sinα+cosα；
（Ⅱ）求
cos(-
π
2
-α)cos(4π-α)sin(α-3π)
sin(α+
1
2
π)sin(-4π-α)
的值．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为
 
．
如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，M、N分别为PC，PD上的点，且PM：MC=2：1，N为PD的中点，则满足
MN
=x
AB
+y
AD
+z
AP
的实x=
 
，y=
 
，z=
 
．
P是椭圆
x2
25
+
y2
9
=1上一点，F1，F2分别为左、右焦点，△PF1F2的内切圆的半径为1，则|
PF1
+
PF2
|的值为（　　）
A、8
B、4
3
C、4
D、
25
4
7

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