Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0．
（1）求f（0）的值；       
（2）讨论f（x）的奇偶性和单调性．
（3）当x＞0时，对于f（x）总有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y），可得f（0）=f（0）+f（0），从而求得f（0）的值．
（2）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，可得f（-x）=-f（x），故函数为奇函数．设x₂＞x₁，可得x₂-x₁＞0．再根据条件可得f（x₂-x₁）＜0，即 f（x₂）-f（x₁）＜0，可得函数f（x）是R上的减函数．
（3）当x＞0时，由f（1-m）＜f（m²-1），可得 

1-m＞0 m2-1＞0 1-m＞m2-1

，由此求得m的值．

解答： 解：（1）由于定义在R上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），
故有f（0）=f（0）+f（0），故有f（0）=0．
（2）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，可得f（0）=0=f（x）+f（-x），∴f（-x）=-f（x），故函数为奇函数．
设x₂＞x₁，可得x₂-x₁＞0．再根据当x＞0时，f（x）＜0，可得f（x₂-x₁）＜0，∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即 f（x₂）＜f（x₁），
故函数f（x）是R上的减函数．
（3）∵当x＞0时，对于f（x）总有f（1-m）+f（1-m²）＜0，即 f（1-m）＜f（m²-1），
∴

1-m＞0 m2-1＞0 1-m＞m2-1

，求得-2＜m＜1．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明，利用函数的单调性解不等式，属于基础题．