Question

6．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，且P（2，2）为双曲线上的点，则该双曲线的方程为（　　）

• A． x²-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• C． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 求出双曲线的焦点和渐近线方程，由点到直线的距离公式可得b=2a，将P的坐标代入双曲线方程，解方程组可得a，b，进而得到所求双曲线的方程．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点（c，0）到其渐近线y=$\frac{b}{a}$x的距离
为d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
由题意可得b=2a，①
P（2，2）为双曲线上的点，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，②
由①②可得a=$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程和待定系数法，考查方程思想和点到直线的距离公式，以及运算能力，属于中档题．