Question

如图,在长方体中,点在棱上.

（1）求异面直线与所成的角；
（2）若二面角的大小为,求点到平面的距离.

Answer 1

(1)；(2).

试题分析：根据几何体的特征，可有两种思路，即“几何法”和“向量法”.
思路一:(1)连结.由是正方形知.
根据三垂线定理得,即得异面直线与所成的角为.
(2)作,垂足为,连结,得.为二面角的平面角,.于是,根据,得,又,得到.
设点到平面的距离为,于求得.
思路二:分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.
(1)由,得,
设,又,则.
计算得即得解.
(2)为面的法向量,设为面的法向量,
由,
得到.①
由,得,根据,即,
得到②
由①、②,可取,
点到平面的距离.
试题解析：解法一:(1)连结.由是正方形知.
∵平面,
∴是在平面内的射影.
根据三垂线定理得,
则异面直线与所成的角为.                    5分
(2)作,垂足为,连结,则.
所以为二面角的平面角,.于是,
易得,所以,又,所以.
设点到平面的距离为,则由于即,
因此有,即,∴.       ..  12分
解法二:如图,分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.
(1)由,得,
设,又,则.
∵∴,则异面直线与所成的角为.        5分
(2)为面的法向量,设为面的法向量,则
,
∴.①
由,得,则,即,∴②
由①、②,可取,又,
所以点到平面的距离.             12分