Question

定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．

解答： 解：∵当x≥0时，f（x）=x²，
∴此时函数f（x）单调递增，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数f（x）在R上单调递增，
若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，
∵2f（x）=2x²=（

2

x）²=f（

2

x），
∴f（x+a）≥f（

2

x）恒成立，
则x+a≥

2

x恒成立，
即a≥-x+

2

x=(

2

-1)x恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴（(

2

-1)x）_max=(

2

-1)（a+2），
即a≥(

2

-1)（a+2），
解得a≥

2

，
即实数a的取值范围是故答案为[

2

，+∞)．
故答案为：[

2

，+∞)．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质，是中档题．