Question

设函数f（x）=

1+x2

1-x2

．
（1）求它的定义域； 
（2）判断它的奇偶性；
（3）求证：f（

1

x

）=-f（x）；
（4）求f（-

1

4

）+f（-

1

3

）+f（-

1

2

）+f（0）+f（2）+f（3）+f（4）的值．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意，得1-x²≠0，由此能求出函数的定义域．
（2）由f（-x）=

1+(-x)2

1-(-x)2

=

1+x2

1-x2

=f（x），得函数f（x）=

1+x2

1-x2

是偶函数．
（3）由f（

1

x

）=

1+ 1 x2

1- 1 x2

=

x2+1

x2-1

=-

1+x2

1-x2

=-f（x），能证明f（

1

x

）=-f（x）．
（4）由f（

1

x

）=-f（x），f（-x）=

1+(-x)2

1-(-x)2

=

1+x2

1-x2

=f（x），得f（-

1

4

）+f（-

1

3

）+f（-

1

2

）+f（0）+f（2）+f（3）+f（4）=f（0）=1．

解答： （1）解：由题意，得1-x²≠0，解得x≠±1，
∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）．
（2）解：∵f（-x）=

1+(-x)2

1-(-x)2

=

1+x2

1-x2

=f（x），
∴函数f（x）=

1+x2

1-x2

是偶函数．
（3）证明：∵函数f（x）=

1+x2

1-x2

，
∴f（

1

x

）=

1+ 1 x2

1- 1 x2

=

x2+1

x2-1

=-

1+x2

1-x2

=-f（x），
故f（

1

x

）=-f（x）．
（4）解：∵f（

1

x

）=-f（x），f（-x）=

1+(-x)2

1-(-x)2

=

1+x2

1-x2

=f（x），
∴f（-

1

4

）+f（-

1

3

）+f（-

1

2

）+f（0）+f（2）+f（3）+f（4）
=f（

1

4

）+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（0）+f（2）+f（3）+f（4）
=f（0）
=1．

点评：本题考查函数的定义域、奇偶性的判断，考查等式的证明，考查函数值的求法，是中档题，解题时要注意函数性质的合理运用．