Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+ax（x≤1）}\\{{a}^{2}x-7a+14（x＞1）}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）．
（I）求实数a的取值集合A；
（Ⅱ）若a∈A，且函数g（x）=1g[ax²+（a+3）x+4]的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当a＜2时，由二次函数的图象和性质，易得满足条件；当a≥2时，若存在x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则函数f（x）不为单调函数，即-1+a＞a²-7a+14，综合讨论结果可得答案；
（Ⅱ）由题意可得z=ax²+（a+3）x+4取到一切的正数，讨论，a=0，a＞0，判别式不小于0，解不等式，再与A求交集，即可得到所求范围．

解答 解：（I）当-$\frac{a}{-2}$＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：
存在x₁，x₂∈（-∞，1]且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，
当-$\frac{a}{-2}$≥1，即a≥2时，
若存在x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，
则-1+a＞a²-7a+14，
解得：3＜a＜5，
综上所述：实数a的取值集合是A=（-∞，2）∪（3，5）；
（Ⅱ）由题意可得z=ax²+（a+3）x+4取到一切的正数，
当a=0时，z=3x+4取得一切的正数；
当a＞0，判别式△≥0，即为（a+3）²-16a≥0，
解得a≥9或0＜a≤1．
综上可得，a的范围是$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤1或a≥9}\\{a＜2或3＜a＜5}\end{array}\right.$，
即为0≤a≤1．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，考查对数函数的图象和性质，运用分类讨论的思想方法是解答的关键．