Question

7．设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，a_n＞0，若S₆-2S₃=5，则S₉-S₆的最小值为20．

Answer 1

分析 利用等比数列的前n项和公式、数列的单调性、基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比q＞0，q≠1．
∵S₆-2S₃=5，
∴$\frac{{a}_{1}（{q}^{6}-1）}{q-1}$-$\frac{2{a}_{1}（{q}^{3}-1）}{q-1}$=5．
∴$\frac{{a}_{1}（{q}^{3}-1）^{2}}{q-1}$=5．∴q＞1．
则S₉-S₆=$\frac{{a}_{1}（{q}^{9}-1）}{q-1}$-$\frac{{a}_{1}（{q}^{6}-1）}{q-1}$=$\frac{{a}_{1}（{q}^{3}-1）}{q-1}$•q⁶=$\frac{5{q}^{6}}{{q}^{3}-1}$=5$[（{q}^{3}-1）+\frac{1}{{q}^{3}-1}]$+10≥5×$2\sqrt{（{q}^{3}-1）•\frac{1}{{q}^{3}-1}}$+10=20，当且仅当q³=2，即q=$\root{3}{2}$时取等号．
∴S₉-S₆的最小值为20．
故答案为：20．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式、数列的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．