Question

2．已知函数f（x）=lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x）-1，则f（ln2）+f（ln$\frac{1}{2}$）=（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 根据题意，构造函数g（x）=f（x）+1，分析可得函数g（x）为奇函数，由对数的运算性质可得ln2=-ln$\frac{1}{2}$，结合函数的奇偶性可得g（ln2）+g（ln$\frac{1}{2}$）=0，结合g（x）的解析式可得f（ln2）+1+f（ln$\frac{1}{2}$）+1=0，计算可得f（ln2）+f（ln$\frac{1}{2}$）的值，即可得答案．

解答 解：根据题意，令g（x）=f（x）+1，则g（x）=f（x）+1=lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x），
g（x）=lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x），其定义域为R，
且g（-x）=lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$+x）=-lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x）=-g（x），则函数g（x）为奇函数，
又由ln2=-ln$\frac{1}{2}$，
则有g（ln2）+g（ln$\frac{1}{2}$）=0，
即f（ln2）+1+f（ln$\frac{1}{2}$）+1=0，
即f（ln2）+f（ln$\frac{1}{2}$）=-2；
故选：A．

点评 本题考查函数奇偶性的应用，关键构造并分析函数g（x）=f（x）+1的奇偶性．