Question

18．数列{a_n}的前n项和为S_n，若${a_1}=1，{S_n}=3{a_{n+1}}（{n∈{N^*}}），则{S_n}$=$（\frac{4}{3}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得S_n-1=3a_n（n≥2），与圆递推式作差可得数列{a_n}从第二项起，是以${a}_{2}=\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{4}{3}$为公比的等比数列，则S_n可求．

解答 解：由S_n=3a_n+1，得
S_n-1=3a_n（n≥2），
两式作差得：a_n=3a_n+1-3a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{4}{3}$（n≥2）．
又a₁=1，a₁=S₁=3a₂，得${a}_{2}=\frac{1}{3}$．
∴数列{a_n}从第二项起，是以${a}_{2}=\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{4}{3}$为公比的等比数列．
则S₁=a₁=1，当n≥2时，${S}_{n}=1+\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{4}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{4}{3}}=（\frac{4}{3}）^{n-1}$．
已知S₁适合上式，
∴${S}_{n}=（\frac{4}{3}）^{n-1}$．
故答案为：${（\frac{4}{3}）^{n-1}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列前n项和公式的应用，是中档题．