Question

12．某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数．不低于90分的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用频率分布直方图的性质能求出分数在[70，80）内的频率．
（Ⅱ）利用频率分布直方图能求出平均分．
（Ⅲ）由题意，[80，90）分数段的人数为15人，[90，100]分数段的人数为3人，[80，90）分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；[90，100]分数段抽取1人，记为M．因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件A，利用列举法能求出恰有1人的分数不低于90分的概率．

解答 解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为：
1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3，
（Ⅱ）平均分为：$\overline{x}$=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
（Ⅲ）由题意，[80，90）分数段的人数为：0.25×60=15人
[90，100]分数段的人数为：0.05×60=3人．
∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴[80，90）分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；
[90，100]分数段抽取1人，记为M．因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，
则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．
设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件A，
则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），
（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），
（E，M）共15种．
事件A包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5种．
∴恰有1人的分数不低于90分的概率为P（A）=$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题．