Question

20．已知$sinα+cosα=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且$\frac{5π}{4}＜α＜\frac{3π}{2}$，则cosα-sinα的值为（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $-\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 利用平方法求出cosαsinα的值，根据$\frac{5π}{4}＜α＜\frac{3π}{2}$判断cosα-sinα的值的正负．在利用平方后开方可得答案．

解答 解：$sinα+cosα=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
即（cosα+sinα）²=1+2cosαsinα=$\frac{5}{4}$，
∴cosαsinα=$\frac{1}{8}$．
∵$\frac{5π}{4}＜α＜\frac{3π}{2}$，
∴cosα-sinα=M＞0．
则（cosα-sinα）²=M²，
∴1-2cosαsinα=M²
可得：M²=$\frac{3}{4}$，
∵M＞0，
∴M=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即cosα-sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选B．

点评 本题考查了正余弦函数在象限的判断和同角三角函数关系式的计算．