Question

将数轴Ox、Oy的原点放在一起，且使∠xOy=45°，则得到一个平面斜坐标系．设P为坐标平面内的一点，其斜坐标定义如下：若

OP

=x

e1

+y

e2

（

e1

、

e2

分别为与x轴、y轴同向的单位向量），则点P的坐标为（x，y）．若F₁（-1，0），F₂（1，0），且动点M（x，y）满足

| MF1 |

| MF2 |

=1，则点M的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：欲求点M在斜坐标系中的轨迹方程，只须求出其坐标x，y之间的关系即可，根据 M（x，y）满足

| MF1 |

| MF2 |

=1，建立等式关系，解之即可求出点M的轨迹方程．

解答： 解：∵F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴由定义知，

MF1

=（-1-x）

e1

-y

e2

，

MF2

=（1-x）

e1

-y

e2

，
由 动点M（x，y）满足

| MF1 |

| MF2 |

=1，
得：|

MF1

|=|

MF2

|，
所以（-1-x）²+y²+2（1+x）y

e1

•

e2

=（1-x）²+y²-2（1-x）y

e1

•

e2

，
所以（-1-x）²+y²+2（1+x）y×

2

2

=（1-x）²+y²-2（1-x）y×

2

2

，
整理得

2

x+y=0，即y=-

2

x．
点M的轨迹方程为 y=-

2

x．

点评：本题是新信息题，读懂信息，斜坐标系是一个两坐标轴夹角为45°的坐标系，本小题主要考查向量的模、平面向量的基本定理及其意义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．