Question

双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），M是双曲线上的一点，且满足

F1M

•

F2M

+2a²=0，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A、（1，

  3

  ）
• B、（

  3

  ，+∞）
• C、（1，

  2

  ）
• D、（

  2

  ，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设M（m，n），得

F1M

•

F2M

=（m-c）（m+c）+n²=-2a²，即m²+n²=c²-2a²…（1）根据M（m，n）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上的点，得n²=b²（

m2

a2

-1），代入（1）式并整理得：

c2

a2

m²=2c²-3a²…（2）．最后根据m满足m²≥a²，代入（2）式解关于a、c的不等式，得c

3

a，由此即可得出此双曲线的离心率的取值范围．

解答： 解：设M（m，n），得

F1M

•

F2M

=（m-c）（m+c）+n²=-2a²，即m²+n²=c²-2a²…（1）
∵M（m，n）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上的点，
∴n²=b²（

m2

a2

-1），代入（1）式得

c2

a2

m²-b²=c²-2a²，整理得：

c2

a2

m²=2c²-3a²，…（2）
∵点M在双曲线上，横坐标满足|m|≥a
∴m²≥a²，代入（2）式，得2c²-3a²≥

c2

a2

•a²=c²
化简，得c≥

3

a，
因此双曲线的离心率e=

c

a

≥

3

，
故选：B

点评：本题给出双曲线上点P指向两个焦点F₁、F₂的向量的数量积，求此双曲线离心率的取值范围，着重考查了向量数量积的公式和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．