Question

已知抛物线y²＝2x，直线l过点(0,2)与抛物线交于M，N两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程．

Answer 1

解　由题意知直线l的斜率存在，

设为k，则直线l的方程为y＝kx＋2，

解方程组，

消去x得ky²－2y＋4＝0，

Δ＝4－16k>0⇒k< (k≠0)，

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

则y₁＋y₂＝，y₁y₂＝，

⇒x₁x₂＝(y₁y₂)²＝.

OM⊥ON⇒k_OM·k_ON＝－1，

∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，

∴＋＝0，解得k＝－1.

所以所求直线方程为y＝－x＋2，

即x＋y－2＝0.